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“接下来,我要讲的,便是我从希门主、从歌庭派的工作当中学习得的最重要的概念!形式化。”
王崎这话一出口,算君的眉头就多出一道沟壑。
而在他身后,更多的少黎派算家几乎出离的愤怒了。
算主希柏澈一生当中有无数的成就。但是,他在算学本质的看法之上却广为人诟病,绝大多数算家都难以接受。
在算主看来,算学的本质,就是“形式”。单独的符号不存在任何意义。那些符号排列的“形式”才是算学。
这就好比说“1+1=2”这个最初公式里,“1”、“+”、“=”、“2”这几个符号都是无意义的,而只有那个完整等式在具有数学意义。
而另一边,歌庭派的诸多算家也心情复杂。他们脸上露出了诡谲的表情,夹杂着迷惘、愤怒。
“形式”的理念包含了一致性、完备性、可判定性。可谓是算主希柏澈、一生的理想喻最大的追求。
而否定这份理想的,正是王崎本人。
王崎使用算主的思路,否决了算主的追求,也否定了歌庭派数十年的努力。
但是,这种种复杂的心绪并没有影响到王崎。
王崎明白,现在他代表的,不是他自己,而是“正确”。
自我指涉并不是一个数学的描述――它确实是属于逻辑,但是否属于数学还有待商榷,并非是所有的数学家都承认这一点。地球也好,神州也好,都有这样的迹象。
“这一陈述无法证明”,并非狭义上的数学陈述。
哥德尔证明方法的第二步。就是将这个非数学的陈述或者说准数学的陈述,转化为一个数学的陈述。
地球将之称为――“哥德尔数化”。
――或许在神州,它会叫做“王崎数化”吧?
“一般人在理解这不完备的时候,很容易就陷入一重重自我参照的迷雾之中,难以自拔。我猜想,这大约是与康前辈的对角线证法、无穷基数违反我等天生直觉有关。也正是这一重原因。所以千百年来,我们的前辈们才会对这一重道理视而不见。”
“而非要解开这一重迷雾,就必须使用这种形式化的方法。”
王崎双手放出金光,幻化出重重光幕,无数算符在上面飞舞,排列,罗列着一个伟大的证明。
哥德尔证明不完备定理的第二部分,也是其最伟大的部分,就在这里。
“任何公理系统。所运用的算符,所能够存在的公理,都是有限的。因此,这些公理、这些算符所能够罗列出的陈述,也必定是可数的――无穷可数、道元数零、自然数的个数。就是这么描述的。”
“而这些有可能的陈述,其长度也必然是可数的。而既然还在可数无穷的范畴之内,我们就可以用自然数给它编号。每一个编号都是独一无二的。”
“然后,我们就可以建立一个集合‘中天’。这个集合‘中天’,便是包括了所有有可能陈述的‘编号’。一个公理系统之内。所有有可能的陈述,都必定在这个编号之内。”
……
讲道进行到这里的时候,已经开始脱离绝大多数人所能够理解的范畴了。什么“可数无穷”,什么“基数”、“序数”。这些都已经超过他们的理解范畴了。
就连显身现场听王崎讲道的那些逍遥修士,也有几个露出了迷惘之色。
这个少年所说的每一步,他们都可以理解。但是。这些东西凑到一起之后,究竟有什么数学意义?
完全不明白!
更多借助万仙幻境收看这“直播”的今法修,则纷纷头昏脑涨。这看似简单的证明,似乎包含着无穷的魔力,仿佛要将他们的思维拖向一个深渊。
冯落衣不得不叹了口气。以“字幕”的方式,向所有通过直播观看的修士进行解释。
这个数化的过程,说白了就是“映射”。
把算术系统中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数――通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果,对于数理逻辑和其他有关分支来说,在研究方法上就提供了一种数字化工具,能够方便地把一些讨论对象转换为自然数或自然数的函数,能够用自然数的理论来讨论有关问题。
将一个准数学的陈述转变为一个具有数学意义的陈述。
这就是这个“数化”的意义所在。
而当这个证明进入第二阶段的后半段时,歌庭派阵中,艾克蛮轻轻叹息:“原始递归式啊……”
他的表情当中包含着十足的惋惜与悔恨。
――我也研究过这个领域啊……若是我当年能够再深入一点,会不会就能够避免了今日的劫难?
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